حل {l}{x+y=2}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=2,2x+4y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=2$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -y+2 في المعادلة الأخرى، 2x+4y=8.

$$2\left(-y+2\right)+4y=8$$

اضرب 2 في -y+2.

$$-2y+4+4y=8$$

اجمع -2y مع 4y.

$$2y+4=8$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$2y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2+2$$

اجمع 2 مع -2.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=2,2x+4y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-\frac{1}{2}\times 8\\-2+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=2,2x+4y=8$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2y=2\times 2,2x+4y=8$$

تبسيط.

$$2x+2y=4,2x+4y=8$$

اطرح 2x+4y=8 من 2x+2y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+2y-4y=4-8$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-4y=4-8$$

اجمع 2y مع -4y.

$$-2y=4-8$$

اجمع 4 مع -8.

$$-2y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 2x+4y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+4\times 2=8$$

اضرب 4 في 2.

$$2x+8=8$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$2x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=2$$