حل {l}{x+y=144}{10x+8y=1192}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 144 } \\ { 10 x + 8 y = 1192 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=20$$

$$y=124$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=144$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+144$$

عوّض عن x بالقيمة -y+144 في المعادلة الأخرى، 10x+8y=1192.

$$10\left(-y+144\right)+8y=1192$$

اضرب 10 في -y+144.

$$-10y+1440+8y=1192$$

اجمع -10y مع 8y.

$$-2y+1440=1192$$

اطرح 1440 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-248$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=124$$

عوّض عن y بالقيمة 124 في x=-y+144. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-124+144$$

اجمع 144 مع -124.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=124$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-10}&-\frac{1}{8-10}\\-\frac{10}{8-10}&\frac{1}{8-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{1}{2}\\5&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 144+\frac{1}{2}\times 1192\\5\times 144-\frac{1}{2}\times 1192\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\124\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=20,y=124$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

لجعل x و10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$10x+10y=10\times 144,10x+8y=1192$$

تبسيط.

$$10x+10y=1440,10x+8y=1192$$

اطرح 10x+8y=1192 من 10x+10y=1440 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+10y-8y=1440-1192$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-8y=1440-1192$$

اجمع 10y مع -8y.

$$2y=1440-1192$$

اجمع 1440 مع -1192.

$$2y=248$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=124$$

عوّض عن y بالقيمة 124 في 10x+8y=1192. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$10x+8\times 124=1192$$

اضرب 8 في 124.

$$10x+992=1192$$

اطرح 992 من طرفي المعادلة.

$$10x=200$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=20$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=20,y=124$$