حل {l}{x+y=10}{4x+2y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 10 } \\ { 4 x + 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=10,4x+2y=30$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=10$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+10$$

عوّض عن x بالقيمة -y+10 في المعادلة الأخرى، 4x+2y=30.

$$4\left(-y+10\right)+2y=30$$

اضرب 4 في -y+10.

$$-4y+40+2y=30$$

اجمع -4y مع 2y.

$$-2y+40=30$$

اطرح 40 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5+10$$

اجمع 10 مع -5.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=10,4x+2y=30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10+\frac{1}{2}\times 30\\2\times 10-\frac{1}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=10,4x+2y=30$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4y=4\times 10,4x+2y=30$$

تبسيط.

$$4x+4y=40,4x+2y=30$$

اطرح 4x+2y=30 من 4x+4y=40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+4y-2y=40-30$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-2y=40-30$$

اجمع 4y مع -2y.

$$2y=40-30$$

اجمع 40 مع -30.

$$2y=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 4x+2y=30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+2\times 5=30$$

اضرب 2 في 5.

$$4x+10=30$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$4x=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=5$$