حل {l}{x+y=1}{x-2y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { x - 2 y = 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=1,x-2y=14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=1$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -y+1 في المعادلة الأخرى، x-2y=14.

$$-y+1-2y=14$$

اجمع -y مع -2y.

$$-3y+1=14$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$-3y=13$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=-\frac{13}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{13}{3} في x=-y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-\frac{13}{3}\right)+1$$

اضرب -1 في -\frac{13}{3}.

$$x=\frac{13}{3}+1$$

اجمع 1 مع \frac{13}{3}.

$$x=\frac{16}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{13}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=1,x-2y=14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 14\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{13}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=1,x-2y=14$$

اطرح x-2y=14 من x+y=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x+y+2y=1-14$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+2y=1-14$$

اجمع y مع 2y.

$$3y=1-14$$

اجمع 1 مع -14.

$$3y=-13$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=-\frac{13}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{13}{3} في x-2y=14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-2\left(-\frac{13}{3}\right)=14$$

اضرب -2 في -\frac{13}{3}.

$$x+\frac{26}{3}=14$$

اطرح \frac{26}{3} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{16}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{13}{3}$$