حل {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2b لكلا الجانبين.

$$a+2b=15$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2a لكلا الجانبين.

$$2a-5b+2a=15$$

اجمع 2a مع 2a لتحصل على 4a.

$$4a-5b=15$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$a+2b=15$$

اطرح 2b من طرفي المعادلة.

$$a=-2b+15$$

عوّض عن a بالقيمة -2b+15 في المعادلة الأخرى، 4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

اضرب 4 في -2b+15.

$$-8b+60-5b=15$$

اجمع -8b مع -5b.

$$-13b+60=15$$

اطرح 60 من طرفي المعادلة.

$$-13b=-45$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$b=\frac{45}{13}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{45}{13} في a=-2b+15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

اضرب -2 في \frac{45}{13}.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

اجمع 15 مع -\frac{90}{13}.

$$a=\frac{105}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2b لكلا الجانبين.

$$a+2b=15$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2a لكلا الجانبين.

$$2a-5b+2a=15$$

اجمع 2a مع 2a لتحصل على 4a.

$$4a-5b=15$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وb.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2b لكلا الجانبين.

$$a+2b=15$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2a لكلا الجانبين.

$$2a-5b+2a=15$$

اجمع 2a مع 2a لتحصل على 4a.

$$4a-5b=15$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

لجعل a و4a متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

تبسيط.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

اطرح 4a-5b=15 من 4a+8b=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

اجمع 4a مع -4a. حذف الحدين 4a و-4a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8b+5b=60-15$$

اجمع 8b مع 5b.

$$13b=60-15$$

اجمع 60 مع -15.

$$13b=45$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$b=\frac{45}{13}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{45}{13} في 4a-5b=15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

اضرب -5 في \frac{45}{13}.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

أضف \frac{225}{13} إلى طرفي المعادلة.

$$4a=\frac{420}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$a=\frac{105}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$