حل {l}{9x-4y=11}{x+4y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 11 } \\ { x + 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$9x-4y=11$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$9x=4y+11$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+11\right)$$

اضرب \frac{1}{9} في 4y+11.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y+11}{9} في المعادلة الأخرى، x+4y=19.

$$\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}+4y=19$$

اجمع \frac{4y}{9} مع 4y.

$$\frac{40}{9}y+\frac{11}{9}=19$$

اطرح \frac{11}{9} من طرفي المعادلة.

$$\frac{40}{9}y=\frac{160}{9}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{40}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{4}{9}\times 4+\frac{11}{9}$$

اضرب \frac{4}{9} في 4.

$$x=\frac{16+11}{9}$$

اجمع \frac{11}{9} مع \frac{16}{9} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\times 4-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\times 4-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\times 4-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{40}&\frac{9}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 11+\frac{1}{10}\times 19\\-\frac{1}{40}\times 11+\frac{9}{40}\times 19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

لجعل 9x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 9.

$$9x-4y=11,9x+9\times 4y=9\times 19$$

تبسيط.

$$9x-4y=11,9x+36y=171$$

اطرح 9x+36y=171 من 9x-4y=11 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$9x-9x-4y-36y=11-171$$

اجمع 9x مع -9x. حذف الحدين 9x و-9x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-36y=11-171$$

اجمع -4y مع -36y.

$$-40y=11-171$$

اجمع 11 مع -171.

$$-40y=-160$$

قسمة طرفي المعادلة على -40.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x+4y=19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+4\times 4=19$$

اضرب 4 في 4.

$$x+16=19$$

اطرح 16 من طرفي المعادلة.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=4$$