حل {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$80x+160y=4$$

اطرح 160y من طرفي المعادلة.

$$80x=-160y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{80} في -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+\frac{1}{20} في المعادلة الأخرى، x+3y=0.1.

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

اجمع -2y مع 3y.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

اطرح \frac{1}{20} من طرفي المعادلة.

$$y=\frac{1}{20}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{20} في x=-2y+\frac{1}{20}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

اضرب -2 في \frac{1}{20}.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

اجمع \frac{1}{20} مع -\frac{1}{10} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{1}{20}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

لجعل 80x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 80.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

تبسيط.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

اطرح 80x+240y=8 من 80x+160y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

اجمع 80x مع -80x. حذف الحدين 80x و-80x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$160y-240y=4-8$$

اجمع 160y مع -240y.

$$-80y=4-8$$

اجمع 4 مع -8.

$$-80y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -80.

$$y=\frac{1}{20}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{20} في x+3y=0.1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

اضرب 3 في \frac{1}{20}.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

اطرح \frac{3}{20} من طرفي المعادلة.

$$x=-\frac{1}{20}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$