حل {l}{8x+7y=1}{5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 7 y = 1 } \\ { 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=\frac{3}{13}\approx 0.230769231$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x+7y=1$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$8x=-7y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-7y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في -7y+1.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-7y+1}{8} في المعادلة الأخرى، 5x+6y=1.

$$5\left(-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}\right)+6y=1$$

اضرب 5 في \frac{-7y+1}{8}.

$$-\frac{35}{8}y+\frac{5}{8}+6y=1$$

اجمع -\frac{35y}{8} مع 6y.

$$\frac{13}{8}y+\frac{5}{8}=1$$

اطرح \frac{5}{8} من طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{8}y=\frac{3}{8}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{8}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{3}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{13} في x=-\frac{7}{8}y+\frac{1}{8}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{8}\times \frac{3}{13}+\frac{1}{8}$$

اضرب -\frac{7}{8} في \frac{3}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{21}{104}+\frac{1}{8}$$

اجمع \frac{1}{8} مع -\frac{21}{104} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{1}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{8\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{8\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{8\times 6-7\times 5}&\frac{8}{8\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{8}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-7}{13}\\\frac{-5+8}{13}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x+7y=1,5x+6y=1$$

لجعل 8x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$5\times 8x+5\times 7y=5,8\times 5x+8\times 6y=8$$

تبسيط.

$$40x+35y=5,40x+48y=8$$

اطرح 40x+48y=8 من 40x+35y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$40x-40x+35y-48y=5-8$$

اجمع 40x مع -40x. حذف الحدين 40x و-40x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$35y-48y=5-8$$

اجمع 35y مع -48y.

$$-13y=5-8$$

اجمع 5 مع -8.

$$-13y=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=\frac{3}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{13} في 5x+6y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+6\times \frac{3}{13}=1$$

اضرب 6 في \frac{3}{13}.

$$5x+\frac{18}{13}=1$$

اطرح \frac{18}{13} من طرفي المعادلة.

$$5x=-\frac{5}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-\frac{1}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{13},y=\frac{3}{13}$$