حل {l}{8x+3y=103.1}{12x+8y=139.4}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 103.1 } \\ { 12 x + 8 y = 139.4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{2033}{140} = 14\frac{73}{140} \approx 14.521428571$$

$$y = -\frac{61}{14} = -4\frac{5}{14} \approx -4.357142857$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$8x+3y=103.1$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$8x=-3y+103.1$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+103.1\right)$$

اضرب \frac{1}{8} في -3y+103.1.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80} في المعادلة الأخرى، 12x+8y=139.4.

$$12\left(-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}\right)+8y=139.4$$

اضرب 12 في -\frac{3y}{8}+\frac{1031}{80}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3093}{20}+8y=139.4$$

اجمع -\frac{9y}{2} مع 8y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{3093}{20}=139.4$$

اطرح \frac{3093}{20} من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{61}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{61}{14}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{61}{14} في x=-\frac{3}{8}y+\frac{1031}{80}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{8}\left(-\frac{61}{14}\right)+\frac{1031}{80}$$

اضرب -\frac{3}{8} في -\frac{61}{14} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{183}{112}+\frac{1031}{80}$$

اجمع \frac{1031}{80} مع \frac{183}{112} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{2033}{140}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\12&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-3\times 12}&-\frac{3}{8\times 8-3\times 12}\\-\frac{12}{8\times 8-3\times 12}&\frac{8}{8\times 8-3\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{28}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}103.1\\139.4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 103.1-\frac{3}{28}\times 139.4\\-\frac{3}{7}\times 103.1+\frac{2}{7}\times 139.4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2033}{140}\\-\frac{61}{14}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$8x+3y=103.1,12x+8y=139.4$$

لجعل 8x و12x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 12 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 8.

$$12\times 8x+12\times 3y=12\times 103.1,8\times 12x+8\times 8y=8\times 139.4$$

تبسيط.

$$96x+36y=1237.2,96x+64y=1115.2$$

اطرح 96x+64y=1115.2 من 96x+36y=1237.2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$96x-96x+36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

اجمع 96x مع -96x. حذف الحدين 96x و-96x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$36y-64y=\frac{6186-5576}{5}$$

اجمع 36y مع -64y.

$$-28y=\frac{6186-5576}{5}$$

اجمع 1237.2 مع -1115.2 من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$-28y=122$$

قسمة طرفي المعادلة على -28.

$$y=-\frac{61}{14}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{61}{14} في 12x+8y=139.4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$12x+8\left(-\frac{61}{14}\right)=139.4$$

اضرب 8 في -\frac{61}{14}.

$$12x-\frac{244}{7}=139.4$$

أضف \frac{244}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$12x=\frac{6099}{35}$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$x=\frac{2033}{140}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2033}{140},y=-\frac{61}{14}$$