حل {l}{7x-6y=19}{x-2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 6 y = 19 } \\ { x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x-6y=19,x-2y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x-6y=19$$

أضف 6y إلى طرفي المعادلة.

$$7x=6y+19$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(6y+19\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في 6y+19.

$$x=\frac{6}{7}y+\frac{19}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{6y+19}{7} في المعادلة الأخرى، x-2y=5.

$$\frac{6}{7}y+\frac{19}{7}-2y=5$$

اجمع \frac{6y}{7} مع -2y.

$$-\frac{8}{7}y+\frac{19}{7}=5$$

اطرح \frac{19}{7} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{8}{7}y=\frac{16}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{8}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{6}{7}y+\frac{19}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{6}{7}\left(-2\right)+\frac{19}{7}$$

اضرب \frac{6}{7} في -2.

$$x=\frac{-12+19}{7}$$

اجمع \frac{19}{7} مع -\frac{12}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x-6y=19,x-2y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-6\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}&\frac{7}{7\left(-2\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 19-\frac{3}{4}\times 5\\\frac{1}{8}\times 19-\frac{7}{8}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x-6y=19,x-2y=5$$

لجعل 7x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$7x-6y=19,7x+7\left(-2\right)y=7\times 5$$

تبسيط.

$$7x-6y=19,7x-14y=35$$

اطرح 7x-14y=35 من 7x-6y=19 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x-7x-6y+14y=19-35$$

اجمع 7x مع -7x. حذف الحدين 7x و-7x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y+14y=19-35$$

اجمع -6y مع 14y.

$$8y=19-35$$

اجمع 19 مع -35.

$$8y=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x-2y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-2\left(-2\right)=5$$

اضرب -2 في -2.

$$x+4=5$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-2$$