حل {l}{7x+5y=-3}{-9x+y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 3 } \\ { - 9 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$7x+5y=-3$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$7x=-5y-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-3\right)$$

اضرب \frac{1}{7} في -5y-3.

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y-3}{7} في المعادلة الأخرى، -9x+y=-11.

$$-9\left(-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}\right)+y=-11$$

اضرب -9 في \frac{-5y-3}{7}.

$$\frac{45}{7}y+\frac{27}{7}+y=-11$$

اجمع \frac{45y}{7} مع y.

$$\frac{52}{7}y+\frac{27}{7}=-11$$

اطرح \frac{27}{7} من طرفي المعادلة.

$$\frac{52}{7}y=-\frac{104}{7}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{52}{7}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-2\right)-\frac{3}{7}$$

اضرب -\frac{5}{7} في -2.

$$x=\frac{10-3}{7}$$

اجمع -\frac{3}{7} مع \frac{10}{7} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{7-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{7-5\left(-9\right)}&\frac{7}{7-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}&-\frac{5}{52}\\\frac{9}{52}&\frac{7}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}\left(-3\right)-\frac{5}{52}\left(-11\right)\\\frac{9}{52}\left(-3\right)+\frac{7}{52}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

لجعل 7x و-9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 7.

$$-9\times 7x-9\times 5y=-9\left(-3\right),7\left(-9\right)x+7y=7\left(-11\right)$$

تبسيط.

$$-63x-45y=27,-63x+7y=-77$$

اطرح -63x+7y=-77 من -63x-45y=27 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-63x+63x-45y-7y=27+77$$

اجمع -63x مع 63x. حذف الحدين -63x و63x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-45y-7y=27+77$$

اجمع -45y مع -7y.

$$-52y=27+77$$

اجمع 27 مع 77.

$$-52y=104$$

قسمة طرفي المعادلة على -52.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في -9x+y=-11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-9x-2=-11$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$-9x=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-2$$