حل {l}{6x-5y=-36}{-7x+2y=39}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 5 y = - 36 } \\ { - 7 x + 2 y = 39 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{123}{23} = -5\frac{8}{23} \approx -5.347826087$$

$$y=\frac{18}{23}\approx 0.782608696$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x-5y=-36$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$6x=5y-36$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-36\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في 5y-36.

$$x=\frac{5}{6}y-6$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y}{6}-6 في المعادلة الأخرى، -7x+2y=39.

$$-7\left(\frac{5}{6}y-6\right)+2y=39$$

اضرب -7 في \frac{5y}{6}-6.

$$-\frac{35}{6}y+42+2y=39$$

اجمع -\frac{35y}{6} مع 2y.

$$-\frac{23}{6}y+42=39$$

اطرح 42 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{23}{6}y=-3$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{23}{6}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{18}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{18}{23} في x=\frac{5}{6}y-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{18}{23}-6$$

اضرب \frac{5}{6} في \frac{18}{23} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{15}{23}-6$$

اجمع -6 مع \frac{15}{23}.

$$x=-\frac{123}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}&\frac{6}{6\times 2-\left(-5\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\39\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{23}\left(-36\right)-\frac{5}{23}\times 39\\-\frac{7}{23}\left(-36\right)-\frac{6}{23}\times 39\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{123}{23}\\\frac{18}{23}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x-5y=-36,-7x+2y=39$$

لجعل 6x و-7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$-7\times 6x-7\left(-5\right)y=-7\left(-36\right),6\left(-7\right)x+6\times 2y=6\times 39$$

تبسيط.

$$-42x+35y=252,-42x+12y=234$$

اطرح -42x+12y=234 من -42x+35y=252 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-42x+42x+35y-12y=252-234$$

اجمع -42x مع 42x. حذف الحدين -42x و42x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$35y-12y=252-234$$

اجمع 35y مع -12y.

$$23y=252-234$$

اجمع 252 مع -234.

$$23y=18$$

قسمة طرفي المعادلة على 23.

$$y=\frac{18}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{18}{23} في -7x+2y=39. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-7x+2\times \frac{18}{23}=39$$

اضرب 2 في \frac{18}{23}.

$$-7x+\frac{36}{23}=39$$

اطرح \frac{36}{23} من طرفي المعادلة.

$$-7x=\frac{861}{23}$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=-\frac{123}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{123}{23},y=\frac{18}{23}$$