حل {l}{6x+12y=-6}{2x+5y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 12 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-5$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$6x+12y=-6$$

اطرح 12y من طرفي المعادلة.

$$6x=-12y-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-12y-6\right)$$

اضرب \frac{1}{6} في -12y-6.

$$x=-2y-1$$

عوّض عن x بالقيمة -2y-1 في المعادلة الأخرى، 2x+5y=0.

$$2\left(-2y-1\right)+5y=0$$

اضرب 2 في -2y-1.

$$-4y-2+5y=0$$

اجمع -4y مع 5y.

$$y-2=0$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-2y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times 2-1$$

اضرب -2 في 2.

$$x=-4-1$$

اجمع -1 مع -4.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&12\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-12\times 2}&-\frac{12}{6\times 5-12\times 2}\\-\frac{2}{6\times 5-12\times 2}&\frac{6}{6\times 5-12\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-2\\-\frac{1}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-5,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$6x+12y=-6,2x+5y=0$$

لجعل 6x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 6.

$$2\times 6x+2\times 12y=2\left(-6\right),6\times 2x+6\times 5y=0$$

تبسيط.

$$12x+24y=-12,12x+30y=0$$

اطرح 12x+30y=0 من 12x+24y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+24y-30y=-12$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$24y-30y=-12$$

اجمع 24y مع -30y.

$$-6y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 2x+5y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+5\times 2=0$$

اضرب 5 في 2.

$$2x+10=0$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$2x=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-5,y=2$$