حل {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$5y+4x=-13$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$5y+4x=-13$$

اطرح 4x من طرفي المعادلة.

$$5y=-4x-13$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -4x-13.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{-4x-13}{5} في المعادلة الأخرى، 6y+3x=13.

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

اضرب 6 في \frac{-4x-13}{5}.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

اجمع -\frac{24x}{5} مع 3x.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

أضف \frac{78}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{9}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{143}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{143}{9} في y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

اضرب -\frac{4}{5} في -\frac{143}{9} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

اجمع -\frac{13}{5} مع \frac{572}{45} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{91}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$5y+4x=-13$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$5y+4x=-13$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

لجعل 5y و6y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

تبسيط.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

اطرح 30y+15x=65 من 30y+24x=-78 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

اجمع 30y مع -30y. حذف الحدين 30y و-30y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$24x-15x=-78-65$$

اجمع 24x مع -15x.

$$9x=-78-65$$

اجمع -78 مع -65.

$$9x=-143$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$x=-\frac{143}{9}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{143}{9} في 6y+3x=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

اضرب 3 في -\frac{143}{9}.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

أضف \frac{143}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$6y=\frac{182}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=\frac{91}{9}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$