حل {l}{5x+y=19}{2x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 19 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=-11$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+y=19$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$5x=-y+19$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+19\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -y+19.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+19}{5} في المعادلة الأخرى، 2x+y=1.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}\right)+y=1$$

اضرب 2 في \frac{-y+19}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{38}{5}+y=1$$

اجمع -\frac{2y}{5} مع y.

$$\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}=1$$

اطرح \frac{38}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{33}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-11$$

عوّض عن y بالقيمة -11 في x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{19}{5}$$

اضرب -\frac{1}{5} في -11.

$$x=\frac{11+19}{5}$$

اجمع \frac{19}{5} مع \frac{11}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-11$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 19-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\times 19+\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=-11$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

اطرح 2x+y=1 من 5x+y=19 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-2x+y-y=19-1$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5x-2x=19-1$$

اجمع 5x مع -2x.

$$3x=19-1$$

اجمع 19 مع -1.

$$3x=18$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=6$$

عوّض عن x بالقيمة 6 في 2x+y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$2\times 6+y=1$$

اضرب 2 في 6.

$$12+y=1$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$y=-11$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=-11$$