حل {l}{5x+3y=450.000}{3x+4y=413.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 450.000 } \\ { 3 x + 4 y = 413.000 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=51$$

$$y=65$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+3y=450$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$5x=-3y+450$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+450\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -3y+450.

$$x=-\frac{3}{5}y+90$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{5}+90 في المعادلة الأخرى، 3x+4y=413.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+90\right)+4y=413$$

اضرب 3 في -\frac{3y}{5}+90.

$$-\frac{9}{5}y+270+4y=413$$

اجمع -\frac{9y}{5} مع 4y.

$$\frac{11}{5}y+270=413$$

اطرح 270 من طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{5}y=143$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=65$$

عوّض عن y بالقيمة 65 في x=-\frac{3}{5}y+90. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{5}\times 65+90$$

اضرب -\frac{3}{5} في 65.

$$x=-39+90$$

اجمع 90 مع -39.

$$x=51$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=51,y=65$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}450\\413\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 450-\frac{3}{11}\times 413\\-\frac{3}{11}\times 450+\frac{5}{11}\times 413\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}51\\65\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=51,y=65$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+3y=450,3x+4y=413$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 450,5\times 3x+5\times 4y=5\times 413$$

تبسيط.

$$15x+9y=1350,15x+20y=2065$$

اطرح 15x+20y=2065 من 15x+9y=1350 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+9y-20y=1350-2065$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-20y=1350-2065$$

اجمع 9y مع -20y.

$$-11y=1350-2065$$

اجمع 1350 مع -2065.

$$-11y=-715$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=65$$

عوّض عن y بالقيمة 65 في 3x+4y=413. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\times 65=413$$

اضرب 4 في 65.

$$3x+260=413$$

اطرح 260 من طرفي المعادلة.

$$3x=153$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=51$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=51,y=65$$