حل {l}{5x+3y=2}{-3x+12y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 2 } \\ { - 3 x + 12 y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{8}{23}\approx 0.347826087$$

$$y=\frac{2}{23}\approx 0.086956522$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+3y=2$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$5x=-3y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -3y+2.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+2}{5} في المعادلة الأخرى، -3x+12y=0.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+12y=0$$

اضرب -3 في \frac{-3y+2}{5}.

$$\frac{9}{5}y-\frac{6}{5}+12y=0$$

اجمع \frac{9y}{5} مع 12y.

$$\frac{69}{5}y-\frac{6}{5}=0$$

أضف \frac{6}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{69}{5}y=\frac{6}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{69}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{2}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{23} في x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{2}{23}+\frac{2}{5}$$

اضرب -\frac{3}{5} في \frac{2}{23} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{6}{115}+\frac{2}{5}$$

اجمع \frac{2}{5} مع -\frac{6}{115} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{8}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5\times 12-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 12-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 12-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 12-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{1}{23}&\frac{5}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{23}\times 2\\\frac{1}{23}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{23}\\\frac{2}{23}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+3y=2,-3x+12y=0$$

لجعل 5x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-3\times 5x-3\times 3y=-3\times 2,5\left(-3\right)x+5\times 12y=0$$

تبسيط.

$$-15x-9y=-6,-15x+60y=0$$

اطرح -15x+60y=0 من -15x-9y=-6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-15x+15x-9y-60y=-6$$

اجمع -15x مع 15x. حذف الحدين -15x و15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-60y=-6$$

اجمع -9y مع -60y.

$$-69y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -69.

$$y=\frac{2}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{23} في -3x+12y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+12\times \frac{2}{23}=0$$

اضرب 12 في \frac{2}{23}.

$$-3x+\frac{24}{23}=0$$

اطرح \frac{24}{23} من طرفي المعادلة.

$$-3x=-\frac{24}{23}$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=\frac{8}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{23},y=\frac{2}{23}$$