حل {l}{5x+2y=6}{9x+2y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 9 x + 2 y = 22 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=-7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+2y=6$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$5x=-2y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -2y+6.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+6}{5} في المعادلة الأخرى، 9x+2y=22.

$$9\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=22$$

اضرب 9 في \frac{-2y+6}{5}.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}+2y=22$$

اجمع -\frac{18y}{5} مع 2y.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{54}{5}=22$$

اطرح \frac{54}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{8}{5}y=\frac{56}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{8}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-7$$

عوّض عن y بالقيمة -7 في x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-7\right)+\frac{6}{5}$$

اضرب -\frac{2}{5} في -7.

$$x=\frac{14+6}{5}$$

اجمع \frac{6}{5} مع \frac{14}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=-7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2\times 9}&-\frac{2}{5\times 2-2\times 9}\\-\frac{9}{5\times 2-2\times 9}&\frac{5}{5\times 2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{9}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\\\frac{9}{8}\times 6-\frac{5}{8}\times 22\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=-7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

اطرح 9x+2y=22 من 5x+2y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-9x+2y-2y=6-22$$

اجمع 2y مع -2y. حذف الحدين 2y و-2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5x-9x=6-22$$

اجمع 5x مع -9x.

$$-4x=6-22$$

اجمع 6 مع -22.

$$-4x=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=4$$

عوّض عن x بالقيمة 4 في 9x+2y=22. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$9\times 4+2y=22$$

اضرب 9 في 4.

$$36+2y=22$$

اطرح 36 من طرفي المعادلة.

$$2y=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=-7$$