حل {l}{4y+3x=8}{3x-9y=-77}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y + 3 x = 8 } \\ { 3 x - 9 y = - 77 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = -\frac{236}{39} = -6\frac{2}{39} \approx -6.051282051$$

$$y = \frac{85}{13} = 6\frac{7}{13} \approx 6.538461538$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$4y+3x=8$$

اطرح 3x من طرفي المعادلة.

$$4y=-3x+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(-3x+8\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3x+8.

$$y=-\frac{3}{4}x+2$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3x}{4}+2 في المعادلة الأخرى، -9y+3x=-77.

$$-9\left(-\frac{3}{4}x+2\right)+3x=-77$$

اضرب -9 في -\frac{3x}{4}+2.

$$\frac{27}{4}x-18+3x=-77$$

اجمع \frac{27x}{4} مع 3x.

$$\frac{39}{4}x-18=-77$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{39}{4}x=-59$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{39}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{236}{39}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{236}{39} في y=-\frac{3}{4}x+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{236}{39}\right)+2$$

اضرب -\frac{3}{4} في -\frac{236}{39} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{59}{13}+2$$

اجمع 2 مع \frac{59}{13}.

$$y=\frac{85}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{4\times 3-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\times 3-3\left(-9\right)}&\frac{4}{4\times 3-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 8-\frac{1}{13}\left(-77\right)\\\frac{3}{13}\times 8+\frac{4}{39}\left(-77\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{13}\\-\frac{236}{39}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

اطرح -9y+3x=-77 من 4y+3x=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4y+9y+3x-3x=8+77$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y+9y=8+77$$

اجمع 4y مع 9y.

$$13y=8+77$$

اجمع 8 مع 77.

$$13y=85$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$y=\frac{85}{13}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{85}{13} في -9y+3x=-77. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-9\times \frac{85}{13}+3x=-77$$

اضرب -9 في \frac{85}{13}.

$$-\frac{765}{13}+3x=-77$$

أضف \frac{765}{13} إلى طرفي المعادلة.

$$3x=-\frac{236}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-\frac{236}{39}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$