حل {l}{4x=9-3y}{5y=12-5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x = 9 - 3 y } \\ { 5 y = 12 - 5 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$4x+3y=9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$5y+5x=12$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=9$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+9.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+9}{4} في المعادلة الأخرى، 5x+5y=12.

$$5\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)+5y=12$$

اضرب 5 في \frac{-3y+9}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{45}{4}+5y=12$$

اجمع -\frac{15y}{4} مع 5y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{45}{4}=12$$

اطرح \frac{45}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{4}y=\frac{3}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{3}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{5} في x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{5}+\frac{9}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في \frac{3}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{9}{20}+\frac{9}{4}$$

اجمع \frac{9}{4} مع -\frac{9}{20} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{9}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$4x+3y=9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$5y+5x=12$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 5}\\-\frac{5}{4\times 5-3\times 5}&\frac{4}{4\times 5-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{5}\\-1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-\frac{3}{5}\times 12\\-9+\frac{4}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 3y لكلا الجانبين.

$$4x+3y=9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 5x لكلا الجانبين.

$$5y+5x=12$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=9,5x+5y=12$$

لجعل 4x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$5\times 4x+5\times 3y=5\times 9,4\times 5x+4\times 5y=4\times 12$$

تبسيط.

$$20x+15y=45,20x+20y=48$$

اطرح 20x+20y=48 من 20x+15y=45 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x+15y-20y=45-48$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y-20y=45-48$$

اجمع 15y مع -20y.

$$-5y=45-48$$

اجمع 45 مع -48.

$$-5y=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=\frac{3}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3}{5} في 5x+5y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+5\times \frac{3}{5}=12$$

اضرب 5 في \frac{3}{5}.

$$5x+3=12$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$5x=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{9}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{9}{5},y=\frac{3}{5}$$