حل {l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+y=-7$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$4x=-y-7$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -y-7.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y-7}{4} في المعادلة الأخرى، 2x+6y=-11.

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

اضرب 2 في \frac{-y-7}{4}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

اجمع -\frac{y}{2} مع 6y.

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

أضف \frac{7}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{15}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{15}{11} في x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

اضرب -\frac{1}{4} في -\frac{15}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

اجمع -\frac{7}{4} مع \frac{15}{44} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{31}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

لجعل 4x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

تبسيط.

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

اطرح 8x+24y=-44 من 8x+2y=-14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-24y=-14+44$$

اجمع 2y مع -24y.

$$-22y=-14+44$$

اجمع -14 مع 44.

$$-22y=30$$

قسمة طرفي المعادلة على -22.

$$y=-\frac{15}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{15}{11} في 2x+6y=-11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

اضرب 6 في -\frac{15}{11}.

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

أضف \frac{90}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=-\frac{31}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{31}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$