حل {l}{4x+5y=2}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+5y=2$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$4x=-5y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -5y+2.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} في المعادلة الأخرى، 3x+4y=1.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}\right)+4y=1$$

اضرب 3 في -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{3}{2}+4y=1$$

اجمع -\frac{15y}{4} مع 4y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 4.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{5}{4} في -2.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع \frac{5}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-5\times 3}&\frac{4}{4\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-5\\-3\times 2+4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 2,4\times 3x+4\times 4y=4$$

تبسيط.

$$12x+15y=6,12x+16y=4$$

اطرح 12x+16y=4 من 12x+15y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+15y-16y=6-4$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$15y-16y=6-4$$

اجمع 15y مع -16y.

$$-y=6-4$$

اجمع 6 مع -4.

$$-y=2$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 3x+4y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\left(-2\right)=1$$

اضرب 4 في -2.

$$3x-8=1$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-2$$