حل {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 7y لكلا الجانبين.

$$5x-17+7y=0$$

إضافة 17 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$5x+7y=17$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+5y=-12$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$4x=-5y-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -5y-12.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{4}-3 في المعادلة الأخرى، 5x+7y=17.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

اضرب 5 في -\frac{5y}{4}-3.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

اجمع -\frac{25y}{4} مع 7y.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{4}y=32$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{128}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{128}{3} في x=-\frac{5}{4}y-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

اضرب -\frac{5}{4} في \frac{128}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

اجمع -3 مع -\frac{160}{3}.

$$x=-\frac{169}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 7y لكلا الجانبين.

$$5x-17+7y=0$$

إضافة 17 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$5x+7y=17$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 7y لكلا الجانبين.

$$5x-17+7y=0$$

إضافة 17 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$5x+7y=17$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

لجعل 4x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

تبسيط.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

اطرح 20x+28y=68 من 20x+25y=-60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$25y-28y=-60-68$$

اجمع 25y مع -28y.

$$-3y=-60-68$$

اجمع -60 مع -68.

$$-3y=-128$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=\frac{128}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{128}{3} في 5x+7y=17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

اضرب 7 في \frac{128}{3}.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

اطرح \frac{896}{3} من طرفي المعادلة.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=-\frac{169}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$