حل {l}{4x+3y=0}{3y+3x=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 0 } \\ { 3 y + 3 x = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=0$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{4} في المعادلة الأخرى، 3x+3y=1.

$$3\left(-\frac{3}{4}\right)y+3y=1$$

اضرب 3 في -\frac{3y}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+3y=1$$

اجمع -\frac{9y}{4} مع 3y.

$$\frac{3}{4}y=1$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{4}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4}{3} في x=-\frac{3}{4}y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{4}{3}$$

اضرب -\frac{3}{4} في \frac{4}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=0,3x+3y=1$$

اطرح 3x+3y=1 من 4x+3y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-3x+3y-3y=-1$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4x-3x=-1$$

اجمع 4x مع -3x.

$$x=-1$$

عوّض عن x بالقيمة -1 في 3x+3y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3\left(-1\right)+3y=1$$

اضرب 3 في -1.

$$-3+3y=1$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{4}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=\frac{4}{3}$$