حل {l}{4x+2y=-18}{-2x-5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = - 18 } \\ { - 2 x - 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{35}{8} = -4\frac{3}{8} = -4.375$$

$$y=-\frac{1}{4}=-0.25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+2y=-18$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$4x=-2y-18$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y-18\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -2y-18.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y-9}{2} في المعادلة الأخرى، -2x-5y=10.

$$-2\left(-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}\right)-5y=10$$

اضرب -2 في \frac{-y-9}{2}.

$$y+9-5y=10$$

اجمع y مع -5y.

$$-4y+9=10$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$-4y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=-\frac{1}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{4} في x=-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)-\frac{9}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في -\frac{1}{4} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{8}-\frac{9}{2}$$

اجمع -\frac{9}{2} مع \frac{1}{8} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{35}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-5\right)-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\left(-18\right)+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{1}{8}\left(-18\right)-\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{35}{8}\\-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+2y=-18,-2x-5y=10$$

لجعل 4x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-2\times 4x-2\times 2y=-2\left(-18\right),4\left(-2\right)x+4\left(-5\right)y=4\times 10$$

تبسيط.

$$-8x-4y=36,-8x-20y=40$$

اطرح -8x-20y=40 من -8x-4y=36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8x+8x-4y+20y=36-40$$

اجمع -8x مع 8x. حذف الحدين -8x و8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y+20y=36-40$$

اجمع -4y مع 20y.

$$16y=36-40$$

اجمع 36 مع -40.

$$16y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$y=-\frac{1}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{1}{4} في -2x-5y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x-5\left(-\frac{1}{4}\right)=10$$

اضرب -5 في -\frac{1}{4}.

$$-2x+\frac{5}{4}=10$$

اطرح \frac{5}{4} من طرفي المعادلة.

$$-2x=\frac{35}{4}$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=-\frac{35}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{35}{8},y=-\frac{1}{4}$$