حل {l}{3x+y=1}{4x+4y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+y=1$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$3x=-y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+1}{3} في المعادلة الأخرى، 4x+4y=3.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

اضرب 4 في \frac{-y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

اجمع -\frac{4y}{3} مع 4y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

اطرح \frac{4}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{8}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{5}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{8} في x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في \frac{5}{8} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع -\frac{5}{24} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

تبسيط.

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

اطرح 12x+12y=9 من 12x+4y=4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-12y=4-9$$

اجمع 4y مع -12y.

$$-8y=4-9$$

اجمع 4 مع -9.

$$-8y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$y=\frac{5}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{8} في 4x+4y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

اضرب 4 في \frac{5}{8}.

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{1}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$