حل {l}{3x+5y=6.5}{2x-2y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 6.5 } \\ { 2 x - 2 y = - 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=2.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+5y=6.5$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$3x=-5y+6.5$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+6.5\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -5y+6.5.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{3}+\frac{13}{6} في المعادلة الأخرى، 2x-2y=-9.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}\right)-2y=-9$$

اضرب 2 في -\frac{5y}{3}+\frac{13}{6}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}-2y=-9$$

اجمع -\frac{10y}{3} مع -2y.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{13}{3}=-9$$

اطرح \frac{13}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{40}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{16}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{5}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{2} في x=-\frac{5}{3}y+\frac{13}{6}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{2}+\frac{13}{6}$$

اضرب -\frac{5}{3} في \frac{5}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{-25+13}{6}$$

اجمع \frac{13}{6} مع -\frac{25}{6} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6.5\\-9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 6.5+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{1}{8}\times 6.5-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+5y=6.5,2x-2y=-9$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 6.5,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-9\right)$$

تبسيط.

$$6x+10y=13,6x-6y=-27$$

اطرح 6x-6y=-27 من 6x+10y=13 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+10y+6y=13+27$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y+6y=13+27$$

اجمع 10y مع 6y.

$$16y=13+27$$

اجمع 13 مع 27.

$$16y=40$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$y=\frac{5}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{2} في 2x-2y=-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-2\times \frac{5}{2}=-9$$

اضرب -2 في \frac{5}{2}.

$$2x-5=-9$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=\frac{5}{2}$$