حل {l}{3x+4y=1}{2x+3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y=-5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+4y=1$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$3x=-4y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -4y+1.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y+1}{3} في المعادلة الأخرى، 2x+3y=-1.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

اضرب 2 في \frac{-4y+1}{3}.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{2}{3}+3y=-1$$

اجمع -\frac{8y}{3} مع 3y.

$$\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}=-1$$

اطرح \frac{2}{3} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{3}y=-\frac{5}{3}$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}$$

اضرب -\frac{4}{3} في -5.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

اجمع \frac{1}{3} مع \frac{20}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=-5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-4\left(-1\right)\\-2+3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=-5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+4y=1,2x+3y=-1$$

لجعل 3x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$2\times 3x+2\times 4y=2,3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

تبسيط.

$$6x+8y=2,6x+9y=-3$$

اطرح 6x+9y=-3 من 6x+8y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+8y-9y=2+3$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-9y=2+3$$

اجمع 8y مع -9y.

$$-y=2+3$$

اجمع 2 مع 3.

$$-y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-5$$

عوّض عن y بالقيمة -5 في 2x+3y=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\left(-5\right)=-1$$

اضرب 3 في -5.

$$2x-15=-1$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=14$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=-5$$