حل {l}{3x+4y=-10}{x-4y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 10 } \\ { x - 4 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+4y=-10,x-4y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+4y=-10$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$3x=-4y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-10\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -4y-10.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{10}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y-10}{3} في المعادلة الأخرى، x-4y=2.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{10}{3}-4y=2$$

اجمع -\frac{4y}{3} مع -4y.

$$-\frac{16}{3}y-\frac{10}{3}=2$$

أضف \frac{10}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{16}{3}y=\frac{16}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{16}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{4}{3}y-\frac{10}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-1\right)-\frac{10}{3}$$

اضرب -\frac{4}{3} في -1.

$$x=\frac{4-10}{3}$$

اجمع -\frac{10}{3} مع \frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+4y=-10,x-4y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-4\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-4\right)-4}&\frac{3}{3\left(-4\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{16}\left(-10\right)-\frac{3}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+4y=-10,x-4y=2$$

لجعل 3x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3x+4y=-10,3x+3\left(-4\right)y=3\times 2$$

تبسيط.

$$3x+4y=-10,3x-12y=6$$

اطرح 3x-12y=6 من 3x+4y=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+4y+12y=-10-6$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y+12y=-10-6$$

اجمع 4y مع 12y.

$$16y=-10-6$$

اجمع -10 مع -6.

$$16y=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x-4y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-4\left(-1\right)=2$$

اضرب -4 في -1.

$$x+4=2$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-1$$