حل {l}{3x+2y=7}{5x-2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 5 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8} = 3.125$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=7$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+7}{3} في المعادلة الأخرى، 5x-2y=-5.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-2y=-5$$

اضرب 5 في \frac{-2y+7}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{35}{3}-2y=-5$$

اجمع -\frac{10y}{3} مع -2y.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{35}{3}=-5$$

اطرح \frac{35}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{50}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{16}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{25}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{25}{8} في x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{25}{8}+\frac{7}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{25}{8} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{25}{12}+\frac{7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع -\frac{25}{12} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\left(-5\right)\\\frac{5}{16}\times 7-\frac{3}{16}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{25}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

لجعل 3x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 7,3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$15x+10y=35,15x-6y=-15$$

اطرح 15x-6y=-15 من 15x+10y=35 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+10y+6y=35+15$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y+6y=35+15$$

اجمع 10y مع 6y.

$$16y=35+15$$

اجمع 35 مع 15.

$$16y=50$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$y=\frac{25}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{25}{8} في 5x-2y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-2\times \frac{25}{8}=-5$$

اضرب -2 في \frac{25}{8}.

$$5x-\frac{25}{4}=-5$$

أضف \frac{25}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{5}{4}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$