حل {l}{3x+2y=7}{3x-4y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - 4 y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=7,3x-4y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=7$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+7}{3} في المعادلة الأخرى، 3x-4y=13.

$$3\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-4y=13$$

اضرب 3 في \frac{-2y+7}{3}.

$$-2y+7-4y=13$$

اجمع -2y مع -4y.

$$-6y+7=13$$

اطرح 7 من طرفي المعادلة.

$$-6y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{7}{3}$$

اضرب -\frac{2}{3} في -1.

$$x=\frac{2+7}{3}$$

اجمع \frac{7}{3} مع \frac{2}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=7,3x-4y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 3}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 3}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 7+\frac{1}{9}\times 13\\\frac{1}{6}\times 7-\frac{1}{6}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=7,3x-4y=13$$

اطرح 3x-4y=13 من 3x+2y=7 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+2y+4y=7-13$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+4y=7-13$$

اجمع 2y مع 4y.

$$6y=7-13$$

اجمع 7 مع -13.

$$6y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في 3x-4y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-4\left(-1\right)=13$$

اضرب -4 في -1.

$$3x+4=13$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$3x=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-1$$