حل {l}{3x+2y=12}{4x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 12 } \\ { 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{34}{11} = 3\frac{1}{11} \approx 3.090909091$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$3x+2y=12$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$3x=-2y+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+12\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -2y+12.

$$x=-\frac{2}{3}y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{3}+4 في المعادلة الأخرى، 4x-y=11.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+4\right)-y=11$$

اضرب 4 في -\frac{2y}{3}+4.

$$-\frac{8}{3}y+16-y=11$$

اجمع -\frac{8y}{3} مع -y.

$$-\frac{11}{3}y+16=11$$

اطرح 16 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{3}y=-5$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{15}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{15}{11} في x=-\frac{2}{3}y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}+4$$

اضرب -\frac{2}{3} في \frac{15}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{10}{11}+4$$

اجمع 4 مع -\frac{10}{11}.

$$x=\frac{34}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 12+\frac{2}{11}\times 11\\\frac{4}{11}\times 12-\frac{3}{11}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{34}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3x+2y=12,4x-y=11$$

لجعل 3x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 12,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

تبسيط.

$$12x+8y=48,12x-3y=33$$

اطرح 12x-3y=33 من 12x+8y=48 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x+8y+3y=48-33$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y+3y=48-33$$

اجمع 8y مع 3y.

$$11y=48-33$$

اجمع 48 مع -33.

$$11y=15$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=\frac{15}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{15}{11} في 4x-y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-\frac{15}{11}=11$$

أضف \frac{15}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{136}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{34}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{34}{11},y=\frac{15}{11}$$