حل {l}{3*a+c=5}{a-c=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل a، c

$$a=3$$

$$c=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$3a+c=5,a-c=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة a بعزل a على يسار علامة التساوي.

$$3a+c=5$$

اطرح c من طرفي المعادلة.

$$3a=-c+5$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

اضرب \frac{1}{3} في -c+5.

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

عوّض عن a بالقيمة \frac{-c+5}{3} في المعادلة الأخرى، a-c=7.

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

اجمع -\frac{c}{3} مع -c.

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

اطرح \frac{5}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{4}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$c=-4$$

عوّض عن c بالقيمة -4 في a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

اضرب -\frac{1}{3} في -4.

$$a=\frac{4+5}{3}$$

اجمع \frac{5}{3} مع \frac{4}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$a=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,c=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$3a+c=5,a-c=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة a وc.

$$a=3,c=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$3a+c=5,a-c=7$$

لجعل 3a وa متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 3.

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

تبسيط.

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

اطرح 3a-3c=21 من 3a+c=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

اجمع 3a مع -3a. حذف الحدين 3a و-3a، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$c+3c=5-21$$

اجمع c مع 3c.

$$4c=5-21$$

اجمع 5 مع -21.

$$4c=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$c=-4$$

عوّض عن c بالقيمة -4 في a-c=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة a مباشرةً.

$$a-\left(-4\right)=7$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$a=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$a=3,c=-4$$