حل {l}{25x+16y=72}{-5x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 25 x + 16 y = 72 } \\ { - 5 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$25x+16y=72$$

اطرح 16y من طرفي المعادلة.

$$25x=-16y+72$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$x=\frac{1}{25}\left(-16y+72\right)$$

اضرب \frac{1}{25} في -16y+72.

$$x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-16y+72}{25} في المعادلة الأخرى، -5x+4y=0.

$$-5\left(-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}\right)+4y=0$$

اضرب -5 في \frac{-16y+72}{25}.

$$\frac{16}{5}y-\frac{72}{5}+4y=0$$

اجمع \frac{16y}{5} مع 4y.

$$\frac{36}{5}y-\frac{72}{5}=0$$

أضف \frac{72}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{36}{5}y=\frac{72}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{36}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{16}{25}y+\frac{72}{25}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{16}{25}\times 2+\frac{72}{25}$$

اضرب -\frac{16}{25} في 2.

$$x=\frac{-32+72}{25}$$

اجمع \frac{72}{25} مع -\frac{32}{25} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{8}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&16\\-5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25\times 4-16\left(-5\right)}&-\frac{16}{25\times 4-16\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{25\times 4-16\left(-5\right)}&\frac{25}{25\times 4-16\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}&-\frac{4}{45}\\\frac{1}{36}&\frac{5}{36}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{45}\times 72\\\frac{1}{36}\times 72\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$25x+16y=72,-5x+4y=0$$

لجعل 25x و-5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 25.

$$-5\times 25x-5\times 16y=-5\times 72,25\left(-5\right)x+25\times 4y=0$$

تبسيط.

$$-125x-80y=-360,-125x+100y=0$$

اطرح -125x+100y=0 من -125x-80y=-360 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-125x+125x-80y-100y=-360$$

اجمع -125x مع 125x. حذف الحدين -125x و125x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-80y-100y=-360$$

اجمع -80y مع -100y.

$$-180y=-360$$

قسمة طرفي المعادلة على -180.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في -5x+4y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-5x+4\times 2=0$$

اضرب 4 في 2.

$$-5x+8=0$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-5x=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=\frac{8}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{8}{5},y=2$$