حل {l}{2x-y=2}{3x-2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 2 } \\ { 3 x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x-y=2$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$2x=y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+1$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{2}+1 في المعادلة الأخرى، 3x-2y=1.

$$3\left(\frac{1}{2}y+1\right)-2y=1$$

اضرب 3 في \frac{y}{2}+1.

$$\frac{3}{2}y+3-2y=1$$

اجمع \frac{3y}{2} مع -2y.

$$-\frac{1}{2}y+3=1$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

ضرب طرفي المعادلة في -2.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=\frac{1}{2}y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+1$$

اضرب \frac{1}{2} في 4.

$$x=2+1$$

اجمع 1 مع 2.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-1\\3\times 2-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x-y=2,3x-2y=1$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2$$

تبسيط.

$$6x-3y=6,6x-4y=2$$

اطرح 6x-4y=2 من 6x-3y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-3y+4y=6-2$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y+4y=6-2$$

اجمع -3y مع 4y.

$$y=6-2$$

اجمع 6 مع -2.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 3x-2y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\times 4=1$$

اضرب -2 في 4.

$$3x-8=1$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=4$$