حل {l}{2x+y-7=0}{17x-11y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y - 7 = 0 } \\ { 17 x - 11 y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{85}{39} = 2\frac{7}{39} \approx 2.179487179$$

$$y = \frac{103}{39} = 2\frac{25}{39} \approx 2.641025641$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y-7=0$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$2x+y=7$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+7.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+7}{2} في المعادلة الأخرى، 17x-11y-8=0.

$$17\left(-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}\right)-11y-8=0$$

اضرب 17 في \frac{-y+7}{2}.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{119}{2}-11y-8=0$$

اجمع -\frac{17y}{2} مع -11y.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{119}{2}-8=0$$

اجمع \frac{119}{2} مع -8.

$$-\frac{39}{2}y+\frac{103}{2}=0$$

اطرح \frac{103}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{39}{2}y=-\frac{103}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{39}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{103}{39}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{103}{39} في x=-\frac{1}{2}y+\frac{7}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{103}{39}+\frac{7}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في \frac{103}{39} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{103}{78}+\frac{7}{2}$$

اجمع \frac{7}{2} مع -\frac{103}{78} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{85}{39}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\17&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{2\left(-11\right)-17}&-\frac{1}{2\left(-11\right)-17}\\-\frac{17}{2\left(-11\right)-17}&\frac{2}{2\left(-11\right)-17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{17}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{39}\times 7+\frac{1}{39}\times 8\\\frac{17}{39}\times 7-\frac{2}{39}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{39}\\\frac{103}{39}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y-7=0,17x-11y-8=0$$

لجعل 2x و17x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 17 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$17\times 2x+17y+17\left(-7\right)=0,2\times 17x+2\left(-11\right)y+2\left(-8\right)=0$$

تبسيط.

$$34x+17y-119=0,34x-22y-16=0$$

اطرح 34x-22y-16=0 من 34x+17y-119=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$34x-34x+17y+22y-119+16=0$$

اجمع 34x مع -34x. حذف الحدين 34x و-34x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$17y+22y-119+16=0$$

اجمع 17y مع 22y.

$$39y-119+16=0$$

اجمع -119 مع 16.

$$39y-103=0$$

أضف 103 إلى طرفي المعادلة.

$$39y=103$$

قسمة طرفي المعادلة على 39.

$$y=\frac{103}{39}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{103}{39} في 17x-11y-8=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$17x-11\times \frac{103}{39}-8=0$$

اضرب -11 في \frac{103}{39}.

$$17x-\frac{1133}{39}-8=0$$

اجمع -\frac{1133}{39} مع -8.

$$17x-\frac{1445}{39}=0$$

أضف \frac{1445}{39} إلى طرفي المعادلة.

$$17x=\frac{1445}{39}$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$x=\frac{85}{39}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{85}{39},y=\frac{103}{39}$$