حل {l}{2x+y=45}{3x+5y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 3 x + 5 y = 70 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{155}{7} = 22\frac{1}{7} \approx 22.142857143$$

$$y=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=45$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+45$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+45.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+45}{2} في المعادلة الأخرى، 3x+5y=70.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+5y=70$$

اضرب 3 في \frac{-y+45}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{135}{2}+5y=70$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع 5y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{135}{2}=70$$

اطرح \frac{135}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{2}y=\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{5}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{7} في x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{7}+\frac{45}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في \frac{5}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{5}{14}+\frac{45}{2}$$

اجمع \frac{45}{2} مع -\frac{5}{14} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{155}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 45-\frac{1}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 45+\frac{2}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{7}\\\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

لجعل 2x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 45,2\times 3x+2\times 5y=2\times 70$$

تبسيط.

$$6x+3y=135,6x+10y=140$$

اطرح 6x+10y=140 من 6x+3y=135 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+3y-10y=135-140$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-10y=135-140$$

اجمع 3y مع -10y.

$$-7y=135-140$$

اجمع 135 مع -140.

$$-7y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{5}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{7} في 3x+5y=70. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+5\times \frac{5}{7}=70$$

اضرب 5 في \frac{5}{7}.

$$3x+\frac{25}{7}=70$$

اطرح \frac{25}{7} من طرفي المعادلة.

$$3x=\frac{465}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{155}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$