حل {l}{2x+y=12}{y-x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 12 } \\ { y - x = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y = \frac{22}{3} = 7\frac{1}{3} \approx 7.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+y=12,-x+y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+y=12$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$2x=-y+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+12\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+6$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+6 في المعادلة الأخرى، -x+y=5.

$$-\left(-\frac{1}{2}y+6\right)+y=5$$

اضرب -1 في -\frac{y}{2}+6.

$$\frac{1}{2}y-6+y=5$$

اجمع \frac{y}{2} مع y.

$$\frac{3}{2}y-6=5$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=11$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{22}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{22}{3} في x=-\frac{1}{2}y+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{22}{3}+6$$

اضرب -\frac{1}{2} في \frac{22}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{11}{3}+6$$

اجمع 6 مع -\frac{11}{3}.

$$x=\frac{7}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{3},y=\frac{22}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+y=12,-x+y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 12-\frac{1}{3}\times 5\\\frac{1}{3}\times 12+\frac{2}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\\frac{22}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{7}{3},y=\frac{22}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+y=12,-x+y=5$$

اطرح -x+y=5 من 2x+y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x+x+y-y=12-5$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x+x=12-5$$

اجمع 2x مع x.

$$3x=12-5$$

اجمع 12 مع -5.

$$3x=7$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=\frac{7}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7}{3} في -x+y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-\frac{7}{3}+y=5$$

أضف \frac{7}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{22}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{3},y=\frac{22}{3}$$