حل {l}{2x+7y=22}{2x-3y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 22 } \\ { 2 x - 3 y = - 14 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+7y=22$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$2x=-7y+22$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+22\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -7y+22.

$$x=-\frac{7}{2}y+11$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{2}+11 في المعادلة الأخرى، 2x-3y=-14.

$$2\left(-\frac{7}{2}y+11\right)-3y=-14$$

اضرب 2 في -\frac{7y}{2}+11.

$$-7y+22-3y=-14$$

اجمع -7y مع -3y.

$$-10y+22=-14$$

اطرح 22 من طرفي المعادلة.

$$-10y=-36$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=\frac{18}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{18}{5} في x=-\frac{7}{2}y+11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{18}{5}+11$$

اضرب -\frac{7}{2} في \frac{18}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{63}{5}+11$$

اجمع 11 مع -\frac{63}{5}.

$$x=-\frac{8}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-7\times 2}&-\frac{7}{2\left(-3\right)-7\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}&\frac{2}{2\left(-3\right)-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{7}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-14\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}\times 22+\frac{7}{20}\left(-14\right)\\\frac{1}{10}\times 22-\frac{1}{10}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+7y=22,2x-3y=-14$$

اطرح 2x-3y=-14 من 2x+7y=22 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+7y+3y=22+14$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$7y+3y=22+14$$

اجمع 7y مع 3y.

$$10y=22+14$$

اجمع 22 مع 14.

$$10y=36$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=\frac{18}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{18}{5} في 2x-3y=-14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-3\times \frac{18}{5}=-14$$

اضرب -3 في \frac{18}{5}.

$$2x-\frac{54}{5}=-14$$

أضف \frac{54}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=-\frac{16}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{18}{5}$$