حل {l}{2x+3y=9}{-10x-6y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 9 } \\ { - 10 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=9,-10x-6y=-18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=9$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+9.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+9}{2} في المعادلة الأخرى، -10x-6y=-18.

$$-10\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=-18$$

اضرب -10 في \frac{-3y+9}{2}.

$$15y-45-6y=-18$$

اجمع 15y مع -6y.

$$9y-45=-18$$

أضف 45 إلى طرفي المعادلة.

$$9y=27$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{9}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في 3.

$$x=\frac{-9+9}{2}$$

اجمع \frac{9}{2} مع -\frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=9,-10x-6y=-18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-10&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\-10&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-10&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-10&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-10&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-10&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-10&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-3\left(-10\right)}&-\frac{3}{2\left(-6\right)-3\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{2\left(-6\right)-3\left(-10\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-3\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 9-\frac{1}{6}\left(-18\right)\\\frac{5}{9}\times 9+\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=9,-10x-6y=-18$$

لجعل 2x و-10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-10\times 2x-10\times 3y=-10\times 9,2\left(-10\right)x+2\left(-6\right)y=2\left(-18\right)$$

تبسيط.

$$-20x-30y=-90,-20x-12y=-36$$

اطرح -20x-12y=-36 من -20x-30y=-90 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-20x+20x-30y+12y=-90+36$$

اجمع -20x مع 20x. حذف الحدين -20x و20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-30y+12y=-90+36$$

اجمع -30y مع 12y.

$$-18y=-90+36$$

اجمع -90 مع 36.

$$-18y=-54$$

قسمة طرفي المعادلة على -18.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في -10x-6y=-18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-10x-6\times 3=-18$$

اضرب -6 في 3.

$$-10x-18=-18$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$-10x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=3$$