حل {l}{2x+3y=6}{4x+5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { 4 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=6$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{2}+3 في المعادلة الأخرى، 4x+5y=10.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+5y=10$$

اضرب 4 في -\frac{3y}{2}+3.

$$-6y+12+5y=10$$

اجمع -6y مع 5y.

$$-y+12=10$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$-y=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{3}{2}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+3$$

اضرب -\frac{3}{2} في 2.

$$x=-3+3$$

اجمع 3 مع -3.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 10\\2\times 6-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=6,4x+5y=10$$

لجعل 2x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 6,2\times 4x+2\times 5y=2\times 10$$

تبسيط.

$$8x+12y=24,8x+10y=20$$

اطرح 8x+10y=20 من 8x+12y=24 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+12y-10y=24-20$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y-10y=24-20$$

اجمع 12y مع -10y.

$$2y=24-20$$

اجمع 24 مع -20.

$$2y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 4x+5y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+5\times 2=10$$

اضرب 5 في 2.

$$4x+10=10$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$4x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=2$$