حل {l}{2x+2y=6}{7y-5x=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 6 } \\ { 7 y - 5 x = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+2y=6$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$2x=-2y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -2y+6.

$$x=-y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -y+3 في المعادلة الأخرى، -5x+7y=11.

$$-5\left(-y+3\right)+7y=11$$

اضرب -5 في -y+3.

$$5y-15+7y=11$$

اجمع 5y مع 7y.

$$12y-15=11$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$12y=26$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$y=\frac{13}{6}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13}{6} في x=-y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{13}{6}+3$$

اجمع 3 مع -\frac{13}{6}.

$$x=\frac{5}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-2\left(-5\right)}&-\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\times 7-2\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}&-\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}\times 6-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{5}{24}\times 6+\frac{1}{12}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{13}{6}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

لجعل 2x و-5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-5\times 2x-5\times 2y=-5\times 6,2\left(-5\right)x+2\times 7y=2\times 11$$

تبسيط.

$$-10x-10y=-30,-10x+14y=22$$

اطرح -10x+14y=22 من -10x-10y=-30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-10x+10x-10y-14y=-30-22$$

اجمع -10x مع 10x. حذف الحدين -10x و10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-10y-14y=-30-22$$

اجمع -10y مع -14y.

$$-24y=-30-22$$

اجمع -30 مع -22.

$$-24y=-52$$

قسمة طرفي المعادلة على -24.

$$y=\frac{13}{6}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13}{6} في -5x+7y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-5x+7\times \frac{13}{6}=11$$

اضرب 7 في \frac{13}{6}.

$$-5x+\frac{91}{6}=11$$

اطرح \frac{91}{6} من طرفي المعادلة.

$$-5x=-\frac{25}{6}$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=\frac{5}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$