حل {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$18x-14y=-5$$

أضف 14y إلى طرفي المعادلة.

$$18x=14y-5$$

قسمة طرفي المعادلة على 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

اضرب \frac{1}{18} في 14y-5.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y}{9}-\frac{5}{18} في المعادلة الأخرى، 18x+2y=-20.

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

اضرب 18 في \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}.

$$14y-5+2y=-20$$

اجمع 14y مع 2y.

$$16y-5=-20$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$16y=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على 16.

$$y=-\frac{15}{16}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{15}{16} في x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

اضرب \frac{7}{9} في -\frac{15}{16} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

اجمع -\frac{5}{18} مع -\frac{35}{48} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{145}{144}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

اطرح 18x+2y=-20 من 18x-14y=-5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-14y-2y=-5+20$$

اجمع -14y مع -2y.

$$-16y=-5+20$$

اجمع -5 مع 20.

$$-16y=15$$

قسمة طرفي المعادلة على -16.

$$y=-\frac{15}{16}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{15}{16} في 18x+2y=-20. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

اضرب 2 في -\frac{15}{16}.

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

أضف \frac{15}{8} إلى طرفي المعادلة.

$$18x=-\frac{145}{8}$$

قسمة طرفي المعادلة على 18.

$$x=-\frac{145}{144}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$