حل {l}{12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=-8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$12x-5y=40$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$12x=5y+40$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

اضرب \frac{1}{12} في 40+5y.

$$x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{10}{3}+\frac{5y}{12} في المعادلة الأخرى، 12x-11y=88.

$$12\left(\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

اضرب 12 في \frac{10}{3}+\frac{5y}{12}.

$$5y+40-11y=88$$

اجمع 5y مع -11y.

$$-6y+40=88$$

اطرح 40 من طرفي المعادلة.

$$-6y=48$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=-8$$

عوّض عن y بالقيمة -8 في x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{12}\left(-8\right)+\frac{10}{3}$$

اضرب \frac{5}{12} في -8.

$$x=\frac{-10+10}{3}$$

اجمع \frac{10}{3} مع -\frac{10}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}&-\frac{5}{72}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}\times 40-\frac{5}{72}\times 88\\\frac{1}{6}\times 40-\frac{1}{6}\times 88\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=-8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

اطرح 12x-11y=88 من 12x-5y=40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x-5y+11y=40-88$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-5y+11y=40-88$$

اجمع -5y مع 11y.

$$6y=40-88$$

اجمع 40 مع -88.

$$6y=-48$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=-8$$

عوّض عن y بالقيمة -8 في 12x-11y=88. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

اضرب -11 في -8.

$$12x+88=88$$

اطرح 88 من طرفي المعادلة.

$$12x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=-8$$