حل {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-28$$

$$y=63$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$11x+5y=7$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$11x=-5y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{11} في -5y+7.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+7}{11} في المعادلة الأخرى، 6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

اضرب 6 في \frac{-5y+7}{11}.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

اجمع -\frac{30y}{11} مع 3y.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

اطرح \frac{42}{11} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{11}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=63$$

عوّض عن y بالقيمة 63 في x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

اضرب -\frac{5}{11} في 63.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

اجمع \frac{7}{11} مع -\frac{315}{11} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-28$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-28,y=63$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-28,y=63$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

لجعل 11x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 11.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

تبسيط.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

اطرح 66x+33y=231 من 66x+30y=42 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

اجمع 66x مع -66x. حذف الحدين 66x و-66x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$30y-33y=42-231$$

اجمع 30y مع -33y.

$$-3y=42-231$$

اجمع 42 مع -231.

$$-3y=-189$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=63$$

عوّض عن y بالقيمة 63 في 6x+3y=21. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+3\times 63=21$$

اضرب 3 في 63.

$$6x+189=21$$

اطرح 189 من طرفي المعادلة.

$$6x=-168$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-28$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-28,y=63$$