حل {l}{0.04x+0.02y=5}{0.5(x-2)-0.4y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.02 y = 5 } \\ { 0.5 ( x - 2 ) - 0.4 y = 29 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=100$$

$$y=50$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$0.04x+0.02y=5$$

اطرح \frac{y}{50} من طرفي المعادلة.

$$0.04x=-0.02y+5$$

ضرب طرفي المعادلة في 25.

$$x=25\left(-0.02y+5\right)$$

اضرب 25 في -\frac{y}{50}+5.

$$x=-0.5y+125$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+125 في المعادلة الأخرى، 0.5\left(x-2\right)-0.4y=29.

$$0.5\left(-0.5y+125-2\right)-0.4y=29$$

اجمع 125 مع -2.

$$0.5\left(-0.5y+123\right)-0.4y=29$$

اضرب 0.5 في -\frac{y}{2}+123.

$$-0.25y+61.5-0.4y=29$$

اجمع -\frac{y}{4} مع -\frac{2y}{5}.

$$-0.65y+61.5=29$$

اطرح 61.5 من طرفي المعادلة.

$$-0.65y=-32.5$$

اقسم طرفي المعادلة على -0.65، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=50$$

عوّض عن y بالقيمة 50 في x=-0.5y+125. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-0.5\times 50+125$$

اضرب -0.5 في 50.

$$x=-25+125$$

اجمع 125 مع -25.

$$x=100$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=100,y=50$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$0.04x+0.02y=5,0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

بسّط المعادلة الثانية لتصبح في الصيغة العامة.

$$0.5\left(x-2\right)-0.4y=29$$

اضرب 0.5 في x-2.

$$0.5x-1-0.4y=29$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$0.5x-0.4y=30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.02\\0.5&-0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.4}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&-\frac{0.02}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\\-\frac{0.5}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.4\right)-0.02\times 0.5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{250}{13}&-\frac{20}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{13}\times 5+\frac{10}{13}\times 30\\\frac{250}{13}\times 5-\frac{20}{13}\times 30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\50\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=100,y=50$$