حل {l}{-x-2y=-10}{-7x-8y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 10 } \\ { - 7 x - 8 y = - 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-8$$

$$y=9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x-2y=-10$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$-x=2y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(2y-10\right)$$

اضرب -1 في -10+2y.

$$x=-2y+10$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+10 في المعادلة الأخرى، -7x-8y=-16.

$$-7\left(-2y+10\right)-8y=-16$$

اضرب -7 في -2y+10.

$$14y-70-8y=-16$$

اجمع 14y مع -8y.

$$6y-70=-16$$

أضف 70 إلى طرفي المعادلة.

$$6y=54$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في x=-2y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\times 9+10$$

اضرب -2 في 9.

$$x=-18+10$$

اجمع 10 مع -18.

$$x=-8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-8,y=9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-8\right)-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-10\right)-\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{7}{6}\left(-10\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-8,y=9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x-2y=-10,-7x-8y=-16$$

لجعل -x و-7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$-7\left(-1\right)x-7\left(-2\right)y=-7\left(-10\right),-\left(-7\right)x-\left(-8y\right)=-\left(-16\right)$$

تبسيط.

$$7x+14y=70,7x+8y=16$$

اطرح 7x+8y=16 من 7x+14y=70 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$7x-7x+14y-8y=70-16$$

اجمع 7x مع -7x. حذف الحدين 7x و-7x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$14y-8y=70-16$$

اجمع 14y مع -8y.

$$6y=70-16$$

اجمع 70 مع -16.

$$6y=54$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=9$$

عوّض عن y بالقيمة 9 في -7x-8y=-16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-7x-8\times 9=-16$$

اضرب -8 في 9.

$$-7x-72=-16$$

أضف 72 إلى طرفي المعادلة.

$$-7x=56$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=-8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-8,y=9$$