حل {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 9x من الطرفين.

$$2y-9x=9$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x+y=2$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$-x=-y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-\left(-y+2\right)$$

اضرب -1 في -y+2.

$$x=y-2$$

عوّض عن x بالقيمة y-2 في المعادلة الأخرى، -9x+2y=9.

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

اضرب -9 في y-2.

$$-9y+18+2y=9$$

اجمع -9y مع 2y.

$$-7y+18=9$$

اطرح 18 من طرفي المعادلة.

$$-7y=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{9}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{7} في x=y-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{9}{7}-2$$

اجمع -2 مع \frac{9}{7}.

$$x=-\frac{5}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 9x من الطرفين.

$$2y-9x=9$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 9x من الطرفين.

$$2y-9x=9$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

لجعل -x و-9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

تبسيط.

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

اطرح 9x-2y=-9 من 9x-9y=-18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

اجمع 9x مع -9x. حذف الحدين 9x و-9x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y+2y=-18+9$$

اجمع -9y مع 2y.

$$-7y=-18+9$$

اجمع -18 مع 9.

$$-7y=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=\frac{9}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{9}{7} في -9x+2y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

اضرب 2 في \frac{9}{7}.

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

اطرح \frac{18}{7} من طرفي المعادلة.

$$-9x=\frac{45}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$x=-\frac{5}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$