حل {l}{-5x+8y=0}{-7x-8y=-96}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 8 y = 0 } \\ { - 7 x - 8 y = - 96 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=8$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-5x+8y=0$$

اطرح 8y من طرفي المعادلة.

$$-5x=-8y$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-8\right)y$$

اضرب -\frac{1}{5} في -8y.

$$x=\frac{8}{5}y$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{8y}{5} في المعادلة الأخرى، -7x-8y=-96.

$$-7\times \frac{8}{5}y-8y=-96$$

اضرب -7 في \frac{8y}{5}.

$$-\frac{56}{5}y-8y=-96$$

اجمع -\frac{56y}{5} مع -8y.

$$-\frac{96}{5}y=-96$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{96}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=\frac{8}{5}y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{8}{5}\times 5$$

اضرب \frac{8}{5} في 5.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{5}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{96}&-\frac{5}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-96\right)\\-\frac{5}{96}\left(-96\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=8,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

لجعل -5x و-7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -5.

$$-7\left(-5\right)x-7\times 8y=0,-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-96\right)$$

تبسيط.

$$35x-56y=0,35x+40y=480$$

اطرح 35x+40y=480 من 35x-56y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$35x-35x-56y-40y=-480$$

اجمع 35x مع -35x. حذف الحدين 35x و-35x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-56y-40y=-480$$

اجمع -56y مع -40y.

$$-96y=-480$$

قسمة طرفي المعادلة على -96.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في -7x-8y=-96. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-7x-8\times 5=-96$$

اضرب -8 في 5.

$$-7x-40=-96$$

أضف 40 إلى طرفي المعادلة.

$$-7x=-56$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=5$$