حل {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=7$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$-3y+4x=13$$

اطرح 4x من طرفي المعادلة.

$$-3y=-4x+13$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

اضرب -\frac{1}{3} في -4x+13.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4x-13}{3} في المعادلة الأخرى، -5y-6x=-67.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

اضرب -5 في \frac{4x-13}{3}.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

اجمع -\frac{20x}{3} مع -6x.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

اطرح \frac{65}{3} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{38}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=7$$

عوّض عن x بالقيمة 7 في y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

اضرب \frac{4}{3} في 7.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

اجمع -\frac{13}{3} مع \frac{28}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=5,x=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=5,x=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

لجعل -3y و-5y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -3.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

تبسيط.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

اطرح 15y+18x=201 من 15y-20x=-65 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

اجمع 15y مع -15y. حذف الحدين 15y و-15y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-20x-18x=-65-201$$

اجمع -20x مع -18x.

$$-38x=-65-201$$

اجمع -65 مع -201.

$$-38x=-266$$

قسمة طرفي المعادلة على -38.

$$x=7$$

عوّض عن x بالقيمة 7 في -5y-6x=-67. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-5y-6\times 7=-67$$

اضرب -6 في 7.

$$-5y-42=-67$$

أضف 42 إلى طرفي المعادلة.

$$-5y=-25$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=5,x=7$$